trsing’s diary

勉強、読んだ本、仕事で調べたこととかのメモ。

PRMLメモ　2章　2.3.6~2.3.9

PRML

2.3.6ガウス分布に対するベイズ推論

尤度関数の共役事前分布となるように事前分布を選ぶ。

取り扱いが便利なので分散ではなく精度( $\lambda\equiv1/\sigma^2$ )を使用する。

(2.151)観測数 $2a_0,\,N/2\sigma^2_{ML}=b_0$ より分散が $a_0/b_0$ であるような観測値という解釈。

事前分布

条件	求める事前分布	一変数ガウス分布	D次元多変数ガウス分布
精度既知、平均未知	$p(\mu)$	ガウス分布	ガウス分布
精度未知、平均既知	$p(\lambda)$	ガンマ分布	ウィシャート分布
精度未知、平均未知	$p(\mu,\lambda)$	正規―ガンマ分布	正規―ウィシャート分布

2.3.7スチューデントのt分布

標本平均と分散から母平均の区間推定をするときに使われるやつ。

2.3.8周期変数

(2.169) $\tan\overline{\theta}=\overline{x_2}/\overline{x_1}$ より。

(2.173)共分散行列 $\Sigma=\sigma^2I$ より $x_1$ と $x_2$ は独立。 $p(x_1,x_2)=p(x_1)p(x_2)$

(2.185)(2.181)をmについて微分すると $-NI’_0(m)/I_0(m)+\sum\cos(\theta_n-\theta_0)$ 。これを0とおく。

ベッセル関数の積分表示 $I_n(m)=\frac{1}{2\pi}\int_0^{2\pi}\exp\{m\cos\theta\}\cos(n\theta)d\theta$

2.3.9混合ガウス分布

(2.192) $p(k|x)=p(x|k)p(k)/p(x)$ より。