trsing’s diary

勉強、読んだ本、仕事で調べたこととかのメモ。

サンプルサイズの算出を理解するのに必要な項目

統計サンプルサイズ

項目はだいたい合っていると思う。

正規分布

言わずもがな。

平均0、分散1の正規分布 $N(0,1)$ を標準正規分布という。

標準化

正規分布 $N(\mu,\sigma^{2})$ に対して標準化変数 $Z=(X-\mu)/\sigma$ で変換すると標準正規分布に従う。

標本平均の分布

母集団の平均を $\mu$ , 分散を $\sigma^{2}$ とする。

標本平均の期待値： $E(\bar{X})=\mu$
標本平均の分散： $V(\bar{X})=\sigma^{2}/n$

区間推定

真の母数の値 $\theta$ が、ある区間(L,U)に入る確率を $1-\alpha$ 以上になるように保証する方法であり、
$P(L\leq \theta \leq U)\geq 1-\alpha$
となる確率変数 $L,U$ を求めるものである。

基礎統計学I 統計学入門から

正規母集団の母平均の区間推定

標準正規分布 $N(0,1)$ の信頼係数 $1-\alpha$ の信頼区間は

$P(-Z_{\alpha/2} \leq X \leq Z_{\alpha/2})$

正規分布 $N(\mu,\sigma^{2}/n)$ に従う標本平均 $\bar{X}$ を標準化してやると

$P(-Z_{\alpha/2} \leq X-\mu/(\sigma/\sqrt{n}) \leq Z_{\alpha/2})$

$\mu$ について解くと

$P(\bar{X}-Z_{\alpha/2} \sigma/\sqrt{n} \leq \mu \leq \bar{X}+Z_{\alpha/2} \sigma/\sqrt{n})$

$Z_{\alpha/2}$ ：標準正規分布で上側確率が $\alpha/2$ となる点。 $\alpha=0.05$ の場合1.96。

サンプルサイズを求める

許容できる誤差を $Y$ と置くと、 $Z_{\alpha/2} \sigma/\sqrt{n} \leq Y$ となる $n$ を求める。

$n \geq \left( \frac{Z_{\alpha/2} }{Y} \right)^{2} \sigma^{2}$

有限母集団修正

母集団が有限で非復元抽出の場合分散に補正 $\frac{N-n}{N-1}$ がかかる。

$V(\bar{X})=\frac{N-n}{N-1}\frac{\sigma^{2}}{n}$

となるので、

$Z_{\alpha/2} \sqrt{\frac{N-n}{N-1}\frac{\sigma^{2}}{n}} \leq Y$

これをとくと

$n=\frac{N}{\left(\frac{Y}{Z_{\alpha/2}}\right)^{2} \frac{N-1}{\sigma^{2}} + 1 }$

$n \ll N$ の場合だいたい1になるので気にしないで良い。

二項分布の場合

~~二項分布に従う場合、分散は $p(1-p)$ なので(二項分布の分散は $np(1-p)$ 。平均の分散なので $\sigma^{2}/n=p(1-p)$~~

成功確率 $p$ (失敗確率 $(1-p)$ )のベルヌーイ試行を独立に $n$ 回行ったとき、 $x$ 回成功する確率は $f(x)= _{n}C_{x}p^{x}(1-p)^{n-x}$ 。この確率分布を二項分布( $Bi(n,p)$ )という。
$X$ が $Bi(n,p)$ に従っているなら、 $E(X)=np, V(X)=np(1-p)$
中心極限定理により正規分布に近似できるので

$P \left( -Z_{\alpha/2}\leq\sum(X_{i}-p)/\sqrt{np(1-p)}\leq Z_{\alpha/2} \right)$

$\hat{p}=\bar{X}=\sum X_{i}/n$ として、 $p$ についてとくと

$P \left( \hat{p}-Z_{\alpha/2} \sqrt{p(1-p)/n} \leq p \leq \hat{p}+Z_{\alpha/2} \sqrt{p(1-p)/n} \right)$

対数の法則により $\hat{p}$ は $p$ にほとんど等しいと考えられるので、

$P \left( \hat{p}-Z_{\alpha/2} \sqrt{ \hat{p}(1-\hat{p})/n} \leq p \leq \hat{p}+Z_{\alpha/2} \sqrt{\hat{p}(1-\hat{p})/n} \right)$

これよりサンプルサイズ $n$ は

$n \geq \left(\frac{Z_{\alpha/2}}{Y}\right)^{2} p(1-p)$

$p=0.5$ で分散が最大になるので母比率( $p$ )が未知でも必要なサンプルサイズがわかる。

支持する/しないなどAとNot Aに分けれるやつが該当。

サンプルサイズを求めるには

母集団の分散を調べる
標本から母分散を推定したりする。二項分布の場合は $p=0.5$ としておけば過剰かもしれないが必要なサイズは出る。
信頼区間を決める
許容できる誤差を決める
式に投げ込む

参考

サンプルサイズなどでググって出てくるサイトは大体みた。特にお世話になったのは

toukeigaku-jouhou.info

http://www.naro.affrc.go.jp/org/nfri/yakudachi/sampling/pdf/logical-sample-number.pdf

本

統計学入門 (基礎統計学Ⅰ)

統計学入門 (基礎統計学Ⅰ)

発売日: 1991/07/09
メディア: 単行本